Треугольник Паскаля
-Треугольник Паскаля поражает нас своим совершенством. Для любой строки под номером n (n = 0, 1, 2…) верно:
первое и последнее числа — 1;
второе и предпоследнее — n;
третье число равно треугольному числу (количеству кружков, которые можно расставить в виде равностороннего треугольника, т. е. 1, 3, 6, 10): Tn-1 = n (n - 1) / 2.
четвертое число является тетраэдрическим, т. е. представляет собой пирамиду с треугольником в основании.
-Образец, полученный путём раскраски только нечётных чисел, очень похож на фрактал, называемый треугольником Серпинского. Это сходство становится всё более точным, так как рассматривается больше строк в пределе, когда число рядов приближается к бесконечности, получающийся в результате шаблон представляет собой фигуру, предполагающую фиксированный периметр.
-Благодаря простому построению факториалами можно дать очень простое представление фигуры Паскаля в терминах экспоненциальной матрицы: треугольник — это экспонента матрицы, которая имеет последовательность 1, 2, 3, 4… на её субдиагонали, а все другие точки 0.
-Недавно, в 1972 году, было установлено еще одно свойство треугольника Паскаля. Для того чтобы его обнаружить, нужно записать элементы этой схемы в виде таблицы со сдвигом строк на 2 позиции. Затем отмечают числа, делящиеся на номер строки. Оказывается, что номер столбца, в котором выделены все числа, является простым числом.
-В 1228 году выдающийся итальянский математик Леонардо из Пизы, более известный сейчас под именем Фибоначчи, написал свою знаменитую "Книгу об абаке". Одна из задач этой книги - задача о размножении кроликов - приводила к последовательности чисел 1,1,2,3,5,8,13,21..., в которой каждый член, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих членов. Эта последовательность носит название ряда Фибоначчи, члены ряда Фибоначчи называют числами Фибоначчи. Обозначая n-е число Фибоначчи через
Между рядом Фибоначчи и треугольником Паскаля существует любопытная связь. Образуем для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел. Получим для первой диагонали 1, для второй 1, для третьей 2, для четвертой 3, для пятой 5. Мы получили не что иное, как пять начальных чисел Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи. Для доказательства интересующего нас предложения достаточно показать, что сумма всех чисел, составляющих n-ю и (n+1) диоганали треугольника Паскаля равна сумме чисел, составляющих его n+2-ю диагональ.
Ссылки на источники:
https://fb.ru/article/340690/treugolnik-paskalya-svoystva-treugolnika-paskalya